Question

如图1，有一组平行线，正方形的四个顶点分别在上，过点Ｄ且垂直于于点Ｅ，分别交于点Ｆ，Ｇ，．

（1） ，正方形的边长＝ ；

（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，点在直线上，以为边在的左侧作菱形，使点分别在直线上．

①写出与的函数关系并给出证明；②若，求菱形的边长．

Answer 1

（1）1，；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；

（2）①过点B′作B′M垂直于l1于点M，进而得出Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），求出∠B′AD′与α的数量关系即可；

②首先过点E作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，若α=30°，则∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．

试题解析：（1）由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

在△AED和△DGC中，

，

∴△AED≌△DGC（AAS），

∴AE=GD=1，

又∵DE=1+2=3，

∴正方形ABCD的边长=，

（2）①∠B′AD′=90°-α；

理由：过点B′作B′M垂直于l1于点M，

在Rt△AED′和Rt△B′MA中，

，

∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），

∴∠D′AE+∠B′AM=90°，

∠B′AD′+α=90°，

∴∠B′AD′=90°-α；

②过点E作ON垂直于l1分别交l1，l3于点O，N，

若α=30°，

则∠ED′N=60°，AE=1，

故EO=，EN=，ED′=，

由勾股定理可知菱形的边长为：．

考点：1.几何变换综合题；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理的应用．