Question

如图，梯形ABCD，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，CE与BD交于F，连接AF，G为BC中点，连接DG交CF于M．

证明：（1）CM=AB；

（2）CF=AB+AF．

Answer 1

证明：（1）∵△BDC为等腰直角三角形，CE与BD交于F，

∴BD⊥CD，BE⊥CE，

∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°

∵∠EFB=∠DFC，

∴∠EBF=∠DCF，

又∵G为BC中点，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBG=∠MDC=45°，

在△ABD与△MCD中，

，

∴△ABD≌△MCD，

∴CM=AB；

 

（2）∵△ABD≌△MCD，

∴AD=MD，

又∵G为BC中点，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBG=∠MDB=45°，

在△AFD与△MFD中，

，

∴△AFD≌△MFD，

∴AF=MF；

∴CF=CM+MF=AB+AF，

∴CF=AB+AF．