Question

【题目】如图，在长方形中，=4， =8，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，，则下列结论：① ；②当时，平分 ； ③△周长的最小值为15 ；④当时，平分.其中正确的个数有（ ）

A.4个B.3个C.2个D.1个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据，可设BE=x，则AE=8-x，利用Rt△ABE中勾股定理即可求出BE；当时，四边形APCE为菱形，故可得到平分 ；作C点关于直线AD的对称点C’，根据对称性即可求出△周长的最小值；过点A作AH⊥PE，PG⊥BC，根据求得DP、GC的长，再得到EG,故可求出BP的长，根据等面积法得到AH的长，由AH=AB即可证明平分.

∵，设BE=x，则AE=8-x，

在Rt△ABE中AE2=AB2+BE2,

即（8-x）2=42+x2,

解得x=3，故① 正确；

当时，∵EC=5

∴AP∥EC,AP=CE，

∴四边形APCE为平行四边形。

又AE=EC，

∴四边形APCE为菱形，

故可得到平分 ，②正确；

作C点关于直线AD的对称点C’，则PC=PC’

∴△周长的最小值为EC+EC’=5+，故③错误；

过点A作AH⊥PE，PG⊥BC，

∴AB=PG=4

∵

∴PD==GC

∴EG=5-=

故EP==

又S△AEP=AP×PG=EP×AH

即××4=××AH

∴AH=4=AB，

∴平分，④正确；

故选B.