Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中点A的坐标为（1，1）．若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，点B到达点B₁，点C到达点C₁，点D到达点D₁，若线段AC₁的长度与点D₁的横坐标的差恰好是一元二次方程x²+ax+1=0的一个根，则a的值为

-2

10

．

Answer 1

分析：首先根据题意，作出旋转后的图形，由A的坐标为（1，1）可知一格代表单位1，求出AC的长，即AC1的长，由图象可以写出D₁的横坐标，根据线段AC₁的长度与点D₁的横坐标的差恰好是一元二次方程x²+ax+1=0的一个根，作差代入，求出a的值．

解答：解：由题意作图如右：
∵A的坐标为（1，1），
∴D（0，3），C（2，4），D₁（3，2），
根据旋转的性质知AC=AC1=

(4-1)2+(2-1)2

 =

10

，
∵D₁（3，2），
∴D₁横坐标为x=3，
∴线段AC₁的长度与点D₁的横坐标的差为

10

-3；
∵

10

-3是一元二次方程x²+ax+1=0的一个根，
∴(

10

-3)2+（

10

-3）a+1=0，
整理得a=-2

10

．
故答案为-2

10

．

点评：本题主要考查几何变换综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质及数形结合进行解题的思路，此题难度不大．