Question

如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax²+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

Answer 1

解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax²+bx．

∴，解得，

∴抛物线的表达式为：y=﹣x²+x．

 

（2）存在．

设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入求得k=，

∴直线OD解析式为y=x．

设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，﹣x²+x），

∴MN=|y_M﹣y_N|=|x﹣（﹣x²+x）|=|x²﹣4x|．

由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．

∴|x²﹣4x|=3．

若x²﹣4x=3，整理得：4x²﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；

若x²﹣4x=﹣3，整理得：4x²﹣12x+9=0，解得：x=．

∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或．

 

（3）∵C（1，3），D（3，1）

∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x．

如解答图所示，

设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．

设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；

设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．

设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），

则图中AF=t，F（1+t），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．

设直线O′C′的解析式为y=3x+b，

将C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，

∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．

∴E（t，0）．

联立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，∴P（t，t）．

过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t．

∴S=S_△OFQ﹣S_△OEP=OF•FQ﹣OE•PG

=（1+t）（+t）﹣•t•t

=﹣（t﹣1）²+

当t=1时，S有最大值为．

∴S的最大值为．