Question

已知，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD=5，AB=DC=2．
（1）P为AD上一点，满足∠BPC=∠A，求证：△ABP∽△DPC；
（2）如果点P在AD边上移动（P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么，当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量取值范围．

Answer 1

分析：（1）当∠BPC=∠A时，∠1+∠BPC+∠3=180°，而∠1+∠A+∠2=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时△APB∽△DCP；
（2）利用△ABP∽△DPQ，可得出

AB

AP

=

PD

DQ

，得出y与x之间的关系式．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠A=∠D，
又∵∠1+∠BPC+∠3=180°，
在△APB中，∠1+∠A+∠2=180°，
而∠BPC=∠A，
∴∠2=∠3，
∴△APB∽△DCP．

（2）解：由（1）可得出：△ABP∽△DPQ，
∴

AB

AP

=

PD

DQ

，
∴

2

x

=

5-x

y+2

，
得y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．（1＜x＜4）．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及函数关系式求法，根据已知得出∠DPC=∠ABP是解题关键．