Question

如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析：连接BO并延长，得到BH⊥AD，可以证明两三角形相似，利用相似三角形的性质求出CD的长，然后运用勾股定理求出AD，AB和BC的长，再计算出四边形的周长．

解答：解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．
∵△ABD是⊙O的内接三角形，AB=BD，
∴OB平分∠ABD，
∵AB=BD，O是圆心，
∴BH⊥AD．
又∵∠ADC=90°，
∴BH∥CD，

CD

BO

=

CP

PO

，
即：

CD

1.5

=

0.6

1.5-0.6

，
∴CD=1．
于是AD=

AC2-CD2

=

9-1

=2

2

．
又OH=

1

2

CD=

1

2

，于是
AB=

AH2+BH2

=

2+4

=

6

．
BC=

AC2-AB2

=

9-6

=

3

．
所以，四边形ABCD的周长为：1+2

2

+

3

+

6

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据垂径定理可以得到BH⊥AD，然后用两直线平行判定两三角形相似，利用相似三角形的性质计算求出CD的长，再在直角三角形中用勾股定理计算求出四边形另外三边的长，得到四边形ABCD的周长．