Question

（2009•常德）已知二次函数过点A（0，-2），B（-1，0），C（）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）判断点M（1，）是否在直线AC上；
（3）过点M（1，）作一条直线l与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C三点），请自已给出E点的坐标，并证明△BEF是直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知二次函数过点A（0，-2），B（-1，0），C（），欲求解析式，只需用待定系数法进行求解．
（2）由（1）中A、C坐标，通过待定系数法可求出直线AC解析式，把M坐标代入解析式里，看解答结果是否等于，若是，则M在AC上，反之不在．
（3）首先E点坐标应符合抛物线，然后可根据待定系数法求出直线EM的解析式，结合二次函数解析式组成方程组，进而求出F点坐标．要想证明△BEF是直角三角形，则必须符合两边的平方和等于第三边的平方，这就需要我们依次求出BE、BF、EF或者是它们的平方进行判定．
解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
把A（0，-2），B（-1，0），C（）代入
得
解得a=2，b=0，c=-2，
∴y=2x²-2（3分）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（0，-2），C（）代入得，
解得k=，b=-2，
∴y=x-2
当x=1时，y=×1-2=
∴M（1，）在直线AC上（5分）；

（3）设E点坐标为（-，-），则直线EM的解析式为
由
化简得，
即，
∴F点的坐标为（）．（6分）
过E点作EH⊥x轴于H，则H的坐标为（-，0）．
∴EH=，BH=
∴BE²=（）²+（）²=，
同理可得：，
，（9分）
∴BE²+BF²=，
∴△BEF是直角三角形．（10分）
点评：此题主要考查了待定系数法以及勾股定理逆定理的应用，难易程度适中．