Question

5．△ABC中，DF∥AC，EF∥AB，AF平分∠BAC．
（1）你能判断四边形ADFE是菱形吗？并说明理由．
（2）∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知易得四边形ADFE是平行四边形，由角平分线定义和平行线的性质可得∠FAD=∠DFA，则DF=DA，从而证明四边形ADFE是菱形；
（2）由（1）已经证明四边形ADFE是菱形，又根据有一个角为直角的菱形是正方形，可得当△ABC是直角三角形时，四边形ADFE是正方形．

解答 解：（1）能．理由如下：
∵DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形；
∵AF平分∠BAC，
∴∠EAF=∠FAD，
∵AE∥DF，
∴∠EAF=∠DFA，
∴∠FAD=∠DFA，
∴DF=DA，
∴四边形ADFE是菱形；

（2）当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；
∵四边形AEDF是菱形，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是正方形．

点评 此题主要考查了菱形和正方形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角为直角的菱形是正方形．