Question

8．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=$\sqrt{ab}$，CE=a，AC=b，求证：
（1）△DEC∽△ADC；
（2）AE•AB=BC•DE．

Answer 1

分析 （1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；
（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，$\frac{DE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．

解答 证明：（1）∵DC=$\sqrt{ab}$，CE=a，AC=b，
∴CD²=CE×CA，
即$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CD}{CA}$，
又∵∠ECD=∠DCA，
∴△DEC∽△ADC；

（2）∵△DEC∽△ADC，
∴∠DAE=∠CDE，
∵∠BAD=∠CDA，
∴∠BAC=∠EDA，
∵△DEC∽△ADC，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{DC}{AC}$，
∵DC=AB，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{DE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴△ADE∽△CAB，
∴$\frac{AE}{CB}$=$\frac{DE}{AB}$，
即AE•AB=BC•DE．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．