题目内容

如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB与⊙O交于C，且点C为OB的中点，过C点作弦CD使∠ACD=45°，弧AD的长为 $数学公式$ π，则以AD和AC的长为两根的一元二次方程是

A.
x²-（2+ $数学公式$ ）x+2 $数学公式$ =0
B.
x²-（2+ $数学公式$ ）x-2 $数学公式$ =0
C.
x²-（2- $数学公式$ ）x+2 $数学公式$ =0
D.
x²-（2- $数学公式$ ）x-2 $数学公式$ =0

A
分析：连OA、OD，设⊙O半径为R，根据圆周角定理得到∠AOD=2∠ACD=90°，则△AOD为等腰直角三角形，再利用弧长公式有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，解得R= $\text{[math]}$ ，则AD= $\text{[math]}$ OD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =2，然后根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，而点C为OB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AC= $\text{[math]}$ BC=OC= $\text{[math]}$ ，根据根与系数的关系可得以2和 $\text{[math]}$ 为根的一元二次方程可为（x-2）（x- $\text{[math]}$ ）=0，化为一般式为：x²-（2+ $\text{[math]}$ ）x+2 $\text{[math]}$ =0．
解答：连OA、OD，如图，

设⊙O半径为R，
∵∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，则△AOD为等腰直角三角形，
∴弧AD的长= $\text{[math]}$ ，
而弧AD的长为 $\text{[math]}$ π，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，解得R= $\text{[math]}$ ，
∴AD= $\text{[math]}$ OD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =2，
又∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵点C为OB的中点，
∴AC= $\text{[math]}$ BC=OC= $\text{[math]}$ ，
∴以2和 $\text{[math]}$ 为根的一元二次方程可为（x-2）（x- $\text{[math]}$ ）=0，
化为一般式为：x²-（2+ $\text{[math]}$ ）x+2 $\text{[math]}$ =0．
故选A．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理、弧长公式、直角三角形斜边上的中线性质以及一元二次方程根与系数的关系．