Question

【题目】（1）如图1，在矩形中，对角线与相交于点，过点作直线，且交于点，交于点，连接，且平分.

①求证：四边形是菱形；

②直接写出的度数；

（2）把（1）中菱形进行分离研究，如图2，分别在边上，且，连接为的中点，连接，并延长交于点，连接.试探究线段与之间满足的关系，并说明理由；

（3）把（1）中矩形进行特殊化探究，如图3，矩形满足时，点是对角线上一点，连接，作，垂足为点，交于点，连接，交于点.请直接写出线段三者之间满足的数量关系.

Answer 1

【答案】(1)①见解析;②60°;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO=OF，由OB=OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB=ED即可；②先证明∠ABD=2∠ADB，推出∠ADB=30°，即可解决问题；

（2）延长到，使得，连接，由菱形性质，，得，由此，由ASA可证得，由此，故

，由，可证得是等边三角形，可得，，由SAS可证，可得，即是等边三角形，

在中，由，，可得，由此可得；

（3）结论：EG2=AG2+CE2．如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明△DEG≌△DEM，再证明△ECM是直角三角形即可解决问题．

（1）①证明：如图1中，

∵四边形是矩形，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴，

∴四边形是菱形．

②∵四边形是菱形，

∴，

∵平分，

∴，

∴=，

∵四边形是矩形，

∴A=，

∴+=，

∴==，

∴；

（2）结论：．

理由：如图2中，延长到，使得，连接．

∵四边形是菱形，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

在中，∵，，

∴，

∴．

（3）结论：．

理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，

∵∠FAD+∠DEF=90°，

∴AFED四点共圆，

∴∠EDF=∠DAE=45°，∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠EDC=45°，

∵∠ADF=∠CDM，

∴∠CDM+∠CDE=45°=∠EDG，

在△DEM和△DEG中，

，

∴△DEG≌△DEM，

∴GE=EM，

∵∠DCM=∠DAG=∠ACD=45°，AG=CM，

∴∠ECM=90°，

∴EC2+CM2=EM2，

∵EG=EM，AG=CM，

∴GE2=AG2+CE2．