Question

△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB．求证：OI丄DE，OI=DE．

Answer 1

证明：如图所示，作∠DAO平分线交BC于K．
易证△AID≌△AIB≌△EIB，
∠AID=∠AIB=∠EIB．
利用内心张角公式，有
∠AIB=90°+∠C=105°，
∴∠DIE=360°-105°×3=45°．
∵∠AKB=30°+∠DAO
=30°+（∠BAC-∠BAO）
=30°+（∠BAC-60°）
=∠BAC=∠BAI=∠BEI．
∴AK∥IE．
由等腰△AOD可知DO丄AK，
∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高．
同理点O是△DIE之垂心，OI丄DE．
∵∠DIE=∠IDO，∴OI=DE．
分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K．易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB．利用内心张角公式，有
∠AIB=90°+∠C=105°，可证得AK∥IE．由等腰△AOD可知DO丄AK，从而得出OI丄DE．由∠DIE=∠IDO，则OI=DE．
点评：本题考查了三角形的内切圆和全等三角形的判定和性质．