题目内容

如图在直角坐标系中，A（-2，0），B（8，0），以AB为直径的半圆P与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD交y轴于E．
（1）写出AB边的长；
（2）连接CM，试说明直线CM是否与⊙P相切，说理理由；
（3）在x轴的正半轴上是否存在一点N，使得⊙N与⊙P、直线CP都相切？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）8-（-2）=10；

（2）连接PC、PM，AM、BM，

则∠AMB=90°（直径所对的圆周角等于90°），
故可得△AMO∽△MBO，
∵BC=10，PB=5，
∴CP²=BC²+PB²=125，
∵OA=2，OB=8，
∴OM²=OA•OB=16，
∴OM=4
∵EM=6，EC=8，
∴CM²=CE²+EM²=100；
∵CM²+MP²=PC²，
∴∠PMC=90°，
∴直线CM与OP相切；
（3）①当⊙N与直线CP相切，且与⊙P内切，在点P左边时；
设⊙N的半径为r₁依题意知：
（CP-BC）²+r₁²=（5-r₁）²；
又∵在Rt△PBC中，BC=10，PB=5，
∴PC=5 $\text{[math]}$
∴（5 $\text{[math]}$ -10）²=r₁²=（5-r₂）²解得r₁=10 $\text{[math]}$ -20，
∴ON₁=28-10 $\text{[math]}$ ，
∴N（28-10 $\text{[math]}$ ）；
②当⊙N与直线CP内切且与⊙P内切，但在点P右边时；
根据对称此时满足条件的圆的半径r₂=r₁=10 $\text{[math]}$ -20＞2
∴ON₂=10 $\text{[math]}$ -22，
∴N₂（10 $\text{[math]}$ -22，0）；
③当⊙N与直线CP相切且与⊙P外切时；
设⊙N的半径为r₃，依题意得，
（10+5 $\text{[math]}$ ）²+r₃²=（5+r₃）²
解得r₃=20+10 $\text{[math]}$
∴ON₃=28+10 $\text{[math]}$ ，
∴N₃（28+10 $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）易得正方形的边长等于点B的横坐标减去点A的横坐标．
（2）连接PC，PM，可利用勾股定理求得PC²长，CM²长，进而利用勾股定理可求得∠PMC=90°，那么是切线．
（3）注意分情况探讨内切，外切，点的不同位置等多种情况．
点评：连接圆心和切点是常用的辅助线方法；经过半径的外端并且与半径垂直的直线是圆的切线．