Question

如图，在周长为9cm的四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，且AC=BD=3cm，顺次连接OA、OB、OC、OD的中点得四边形A₁B₁C₁D₁，顺次连接OA₁、OB₁、OC₁、OD₁的中点得四边形A₂B₂C₂D₂，依此作下去…，得四边形A_nB_nC_nD_n，则A_nB_nC_nD_n的周长为

 

cm，面积为

 

cm²．（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析：根据题意可知，每次得到的四边形的各边的长都是上一个四边形各边长的

1

2

，因此第n个四边形A_nB_nC_nD_n和四边形ABCD的相似比应该是

1

2n

：1，然后根据相似多边形的性质求解即可．

解答：解：由于A₁、B₁、C₁、D₁分别是OA、OB、OC、OD的中点，
因此A₁B₁=

1

2

AB，B₁C₁=

1

2

BC，C₁D₁=

1

2

CD，A₁D₁=

1

2

AD，
易证得四边形A₁B₁C₁D₁∽四边形ABCD，且相似比为1：2，即

1

2

：1；
同理可证得四边形A_nB_nC_nD_n与四边形ABCD的相似比为：

1

2n

：1，则面积比为：

1

22n

：1；
∵四边形ABCD的周长为9cm，面积为

1

2

AC×BD=

9

2

cm²，
∴四边形A_nB_nC_nD_n的周长为

9

2n

cm，面积为

9

22n+1

cm²．

点评：此题主要考查的是三角形中位线定理和相似多边形的性质，相似多边形的性质与相似三角形的性质类似，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．