Question

如图，在等边三角形ABC中，P是BC上的任意一点，线段AP的垂直平分线分别交AB、AC于点M、N．

求证：BP·CP＝BM·CN．

Answer 1

答案：
解析：

分析：要证明BP·CP＝BM·CN，即证明＝．连接PM、PN，显然线段BP与BM是△BPM的两条边，线段CN与CP是△CNP的两条边．所以，我们只需证明△BPM∽△CNP即可． 　　证明：连接PM、PN． 　　因为MN是AP的垂直平分线，所以MA＝MP，NA＝NP． 　　所以∠MPA＝∠MAP，∠NPA＝∠NAP． 　　所以∠MPN＝∠MPA＋∠NPA＝∠MAP＋∠NAP＝∠MAN＝60°． 　　所以∠BPM＋∠CPN＝180°－∠MPN＝120°． 　　因为∠BPM＋∠BMP＝180°－∠B＝120°，所以∠BMP＝∠CPN． 　　又因为∠B＝∠C＝60°，所以△BPM∽△CNP． 　　所以＝．所以BP·CP＝BM·CN． 　　点评：在题设的图形中没有明显的三角形相似的情况下，我们可以顺着要证明的比例线段中的字母，利用辅助线构造出三角形，再利用已知条件证明构造出来的三角形相似．