Question

【题目】如图，在ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点．连接MF，则△AOE与△BMF的面积比为________．

Answer 1

【答案】3∶4

【解析】

设AB=AC=m，则BM=m，

∵O是两条对角线的交点，

∴OA=OC=AC=m，

∵∠B=30°，AB=AC，

∴∠ACB=∠B=30°，

∵EF⊥AC，

∴cos∠ACB=， 即cos30°=，

∴FC=m，

∵AE∥FC，

∴∠EAC=∠FCA，

又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴△AOE≌△COF，

∴AE=FC=m，

∴OE=AE= m，

∴S△AOE= OAOE=×m×m=，

作AN⊥BC于N，

∵AB=AC，

∴BN=CN=BC，

∵BN=AB=m，

∴BC=m，

∴BF=BC﹣FC=m﹣m=m，

作MH⊥BC于H，

∵∠B=30°，

∴MH=BM=m，

∴S△BMF=BFMH=×m×m=m2，

∴ ．