Question

如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，BC边在x轴上，点A(－1，2)，点C(3，0) ．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，到达点D后停止．把BP的中点M绕点P逆时针旋转90°到点N，连接PN，DN．设P的运动时间为t秒．
【小题1】经过1秒后，求出点N的坐标；
【小题2】当t为何值时，△PND的面积最大？并求出这个最大值
【小题3】求在整个过程中，点N运动的路程是多少？

Answer 1

【小题1】当t=1时，AP=1，过点N作NQ⊥AD于点Q，易证△BAP∽△PQN
所以 ∴PQ=1,NQ=    ∴N(1, )……………2分
【小题2】当点P运动时间为t秒时
NQ=,PD=4-t
∴y=…………………4分
当t=2时，y最大………………6分
y最大=2………7分
【小题3】因为PQ=1,AP=t
所以N（t,2-）
当t=0时，2-=2；当t=4时，2-=0并且点D沿直线y=2-运动，
所以：点N运动的路程是…………………10分解析:
（1）利用△BAP∽△PQN求出N点的坐标；
（2）先列出△PND的面积方程，然后通过二次的性质进行求解；
（3）分段求出N的路程，然后求它们之和