题目内容
将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；
（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．
【答案】分析：（1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论．
（2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度．
（3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=
：1，设AP1=x，则BE=
x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可．
解答：（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，
∵在△B1CQ和△BCP1中，
，
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），
∴CQ=CP1；
（2）作P1D⊥CA于D，
∵∠A=30°，
∴P1D=
AP1=1，
∵∠P1CD=45°，
∴
=sin45°=
，
∴CP1=
P1D=
，
又∵CP1=CQ，
∴CQ=
；
（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=
BC，
由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE，
∴△AP1C∽△BEC，
∴AP1：BE=AC：BC=
：1，
设AP1=x，则BE=
x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S△P1BE=
×
x（2-x）=-
x2+
x
=-
（x-1）2+
，
故当x=1时，S△P1BE（max）=
．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度．
（2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度．
（3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=
：1，设AP1=x，则BE=x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可．解答：（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，
∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，
∵在△B1CQ和△BCP1中，
，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），
∴CQ=CP1；
（2）作P1D⊥CA于D，
∵∠A=30°，
∴P1D=
AP1=1，∵∠P1CD=45°，
∴
=sin45°=，∴CP1=
P1D=，又∵CP1=CQ，
∴CQ=
；（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=
BC，由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE，
∴△AP1C∽△BEC，
∴AP1：BE=AC：BC=
：1，设AP1=x，则BE=
x，在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S△P1BE=
×x（2-x）=-x2+x=-
（x-1）2+，故当x=1时，S△P1BE（max）=
．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度．
练习册系列答案
相关题目
与AB的交点，点Q是
与BC的交点，求证：
=
；
,则CQ等于多少?
绕点C顺时针旋转到△
（如图3），点
与AP1的交点．当旋转角为多少度时,有△A P1C∽△CP1P2? 这时线段
之间存在一个怎样的数量关系?.
与AB的交点，点Q是
与BC的交点，求证：
=
；
,则CQ等于多少?
绕点C顺时针旋转到△
（如图3），点
与AP1的交点．当旋转角为多少度时,有△A P1C∽△CP1P2? 这时线段
之间存在一个怎样的数量关系?.
