Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+3与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点A，O为坐标原点，P是二次函数y=x²+bx+3的图象上一个动点，点P的横坐标是m，且m＞3，过点P作PM，PM交直线AB于M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切，求此时点M的坐标；
（3）在点P的运动过程中，△APM能否为等腰三角形？若能，求出点P的坐标；若不能请说出理由．

Answer 1

分析：（1）将点B（3，0）坐标代入y=x²+bx+3即可得到二次函数的解析式；
（2）先求出C点坐标和⊙C的半径，根据CD=CA=CB便可求出D点坐标，进而求得点M的坐标；
（3）△APM为等腰三角形则分别讨论PA=PM，PM=AM，PA=AM三种情况，得出符合条件的解即为点P的坐标；

解答：解：（1）将点B（3，0）坐标代入y=x²+bx+3得：0=9+3b+3，
解得b=-4，
∴二次函数的解析式为y=x²-4x+3；

（2）令x=0，则y=3，∴A点坐标为A（0，3），
直线AB的解析式为y=-x+3，
C为⊙C的圆心，CA=CB=

3

2

2

，
故C点坐标为（

3

2

，

3

2

），
过C作CD⊥PM于点D，CD=CA=CB=

3

2

2

，
∴D点坐标为（

3

2

(1+

2

)，

3

2

），
x_M=

3

2

(1+

2

)，
将x_M=

3

2

(1+

2

)代入y=-x+3得y_M=

3

2

(1-

2

)，
∴点M的坐标为（

3

2

(1+

2

)，

3

2

(1-

2

)）；

（3）若△APM为等腰三角形，进行分类讨论；
①当PA=PM时，P（m，m²-4m+3）则M（m，-m+3），
|PM|=|m²-3m|，|PA|=

m2+( m2-4m)2

，|AM|=

m2 +(3+m-3)2

=m

2

；
由PA=PM可得|m²-3m|=

m2+( m2-4m)2

，
解得m=4，m²-4m+3=3，
则P点坐标为P（4，3），
②当PA=AM时，

m2+( m2-4m)2

=m

2

，
解得m=3，或m=5，
当m=3时，m²-4m+3=0，由题意可知m＞3，故m=3不合题意；
当m=5时，m²-4m+3=8，
故点P坐标为（5，8），
③当PA=AM时，|m²-3m|=m

2

，
解得m=3+

2

或m=3-

2

，
由题意可知m＞3，故m=3-

2

舍去，
当m=3+

2

时，m²-4m+3=2

2

+2，
故点P坐标为（3+

2

，2+

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．