题目内容

阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 $数学公式$ 与 $数学公式$ ， $数学公式$ 与 $数学公式$ ．
（1）请你再写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：______．
这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如： $数学公式$ . $数学公式$ ．
（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式：
① $数学公式$ ；② $数学公式$ ；
（3）化简 $数学公式$ 时，甲的解法是： $数学公式$ = $数学公式$ = $数学公式$ ，乙的解法是： $数学公式$ = $数学公式$ = $数学公式$ ，以下判断正确的是
A、甲的解法正确，乙的解法不正确B、甲的解法不正确，乙的解法正确
C、甲、乙的解法都正确D、甲、乙的解法都不正确
（4）已知 $数学公式$ ，则 $数学公式$ 的值为
A、5 B、6 C、3 D、4．

解：（1）化为有理化因式的二次根式为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，答案不唯一；

（2）① $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =17-12 $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ；

（3）甲将分子、分母中同乘以分母的有理化因式，正确，
乙将分子分解因式，再约分，正确，
这两种方法都适合于二次根式的化简，故选C；

（4）∵a= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +2
b= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -2
∴a²+b²=（ $\text{[math]}$ +2）²+（ $\text{[math]}$ -2）²=18
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5．故选A．
分析：（1）根据平方差公式，选择两个互为有理化的因式；
（2）可分子、分母同乘以分母的有理化因式，也可以将分子因式分解；
（3）这两种解法都正确，反映了分母有理化的两种方法；
（4）先将a、b分母有理化，再计算a²+b²的值，代入二次根式即可．
点评：本题考查了二次根式的分母有理化运算的方法，二次根式的运算问题．本题可先计算a²+b²，再代入二次根式中进行计算．

练习册系列答案

27、阅读下面的材料并解答问题．
图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系．例如完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²就可以用图1或图2等图形的面积表示：

（1）请写出图3所表示的代数恒等式：

（a+2b）（2a+b）=2a²+5ab+2b²

解决问题：
某钢铁加工厂现有足够的2×2，3×3的正方形和2×3的矩形下脚料A、B、C（如图所示），现从中各选取若干个下脚料焊接成不同的图形，请你在下面给出的方格纸中，按下列要求分别画出一种示意图（说明：下面给出的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，拼出的图形，要求每两个图片之间既无缝隙，也无重叠，画图必须保留拼较的痕迹）
A、

B、

C、

（2）选取A型4块，B型两种图片1块，C型图片4块，在下面的图2中拼成一个正方形；
利用面积法去解，如图所示．

（3）选取A型3块，B型两种图片1块，C型图片若干块，在下面的图3中拼成一个长方形．

【附加题】阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如

与

，

+1与

-1．
（1）请你再写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：

．
这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：

．
（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式：
①

，以下判断正确的是（　　）
A、甲的解法正确，乙的解法不正确B、甲的解法不正确，乙的解法正确
C、甲、乙的解法都正确D、甲、乙的解法都不正确
（4）已知a=

的值为（　　）
A、5 B、6 C、3 D、4．

阅读下面的材料并解答后面的问题．
小冰：能求出x²+4x-3的最小值吗？，如果能，其最小值是多少？
小华：能，求解过程如下，因为x²+4x-3
=x²+4x+4-4-3
=（x²+4x+4）-4-3
=（x²+4x+4）-7
=（x+2）²-7，
而（x+2）²≥0，所以x²+4x-3的最小值是-7．
问题：你能否求出a²+8a+3的最小值吗？如果能，写出你的求解过程．

先阅读下面的材料,然后解答问题:通过观察，发现方程
的解为;
的解为;
的解为;
…………………………
【小题1】观察上述方程的解,猜想关于x的方程的解是________________;
【小题2】根据上面的规律,猜想关于x的方程的解是___________________;
【小题3】把关于x的方程变形为方程的形式
是______ _ _，方程的解是________ ___．

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