Question

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k₁x+b的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=kx的图象交点为C（3，4）．求：
（1）求k值与一次函数y=k₁x+b的解析式；
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；
（3）在y轴上求一点P使△POC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可解决．
（2）分两种情形讨论，添加辅助线构造全等三角形即可求出点D坐标．
（3）分OP=OC、CP=CO、PC=PO三种情形研究即可．

解答 解：（1）∵正比例函数y=kx的图象经过点C（3，4），
∴4=3k，
k=$\frac{4}{3}$，
∵一次函数y=k₁x+b的图象经过A（-3，0），C（3，4）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数为y=$\frac{2}{3}x+2$．
（2）①当DA⊥AB时，作DM⊥x轴垂足为M，
∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAM=∠ABO，
∵DA=AB，∠DMA=∠AOB，
∴△DAM≌△ABO，
∴DM=AO=3，AM=BO=2，
∴D（-5，3），
②当D′B⊥AB时，作D′N⊥y轴垂足为N，
同理得△D′BN≌△BAO
∴D′N=BO=2，BN=AO=3，
∴D′（-2，5）
∴D点坐标为（-5，3）或（-2，5）．
（3）当OP=OC时，OC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
则P的坐标为（0，5）或（0，-5），
当CP=CO时，则P的坐标是（0，8），
当PO=PC时，作CK⊥y轴垂足为K，设P的坐标为，（0，t）
在Rt△PCK中，∵PC=t，PK=4-t，KC=3，
∴（4-t）²+3²=t²解得$t=\frac{25}{8}$
此时P的坐标是$（0，\frac{25}{8}）$
综上可知P的坐标为（0，5）或（0，-5）或（0，8）或$（0，\frac{25}{8}）$．

点评 本题考查待定系数法求一次函数、全等三角形的判定和性质、勾股定理、添加辅助线构造全等三角形等知识，学会分类讨论的数学思想是正确解题的关键．