题目内容
如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；
②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则△ABC的面积为 _________ （直接写出结果，不需要写出计算过程）．
（1）证明见解析；
（2）GE=BE+GD成立，理由见解析；
（3）①DE=10；
②△ABC的面积为15．
【解析】
试题分析：（1）因为ABCD为正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE，则△BCE≌△DCF，即可求证CE=CF；
（2）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，则△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立；
（3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长；
②由题中条件，建立图形，根据已知条件，运用勾股定理，求出AD的长，再求得△ABC的面积．
试题解析：（1）证明：在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°，
∴∠CDF=∠B=90°．
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．理由如下：
∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°．
∵△BCE≌△DCF（已证），
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．
∴∠ECG=∠FCG=45°．
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=FG．
∵FG=GD+DF，
∴GE=BE+GD；
（3）①如图2，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，
由（2）和题设知：DE=DG+BE，
设DG=x，则AD=12﹣x，DE=x+6，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得：
AD2+AE2=DE2
∴62+（12﹣x）2=（x+6）2
解得x=4．
∴DE=6+4=10；
②将△ABD沿着AB边折叠，使D与E重合，△ACD沿着AC边折叠，使D与G重合，
可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC，
∴∠EAG=∠E=∠G=90°，
AE=AG=AD，
BD=EB=2，
DC=CG=3，
∴四边形AEFG为正方形，
设正方形的边长为x，
可得BF=x﹣2，CF=x﹣3，
在Rt△BCF中，
根据勾股定理得：
BF2+CF2=BC2，
即（x﹣2）2+（x﹣3）2=（2+3）2，
解得：x=6或x=﹣1（舍去），
∴AD=6，
则S△ABC=
BC•AD=15．
考点：1.等腰三角形的判定2.全等三角形的判定与性质3.勾股定理4.正方形的判定．
