题目内容

小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接AD和BC，他想到了四边形ABDC的中点四边形一定是菱形．于是，他又进一步探究：
如图2，若P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，设点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．请你接着往下解决三个问题：
（1）猜想四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状，直接回答______，不必说明理由；
（2）当点P在线段AB的上方时，如图3，在△APB的外部作△APC和△BPD，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其它条件不变，先补全图4，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

【答案】分析：（1）菱形；（2）连接AD、BC，由∠APC=∠BPD推出∠APD=∠CPB，证出∠APD=∠BPC，推出△APD≌△CPB（SAS），根据全等三角形的性质得到AD=BC，根据三角形的中位线定理，进一步推出EF=FG=GH=EH，即可得出结论；（3）判断四边EFGH是正方形，理由是连接AD、BC，由（2）全等推出∠PAD=∠PCB，由∠PAD+∠1=90°和∠1=∠2，推出∠PCB+∠2=90°，得出∠3=90°，根据三角形的中位线定理推出GH∥BC，EH∥AD，即可得出∠EHG=90°，即可推出结论．
解答：解：（1）四边形EFG是菱形，
故答案为：菱形．

（2）答：成立，

理由：连接AD、BC，∵∠APC=∠BPD，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，
∴∠APD=∠CPB，
∵PA=PC，PD=PB，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，
即∠APD=∠BPC，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=CB，
∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，
∴EF、FG、GH、EH分别△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线，
∴EF=

BC、FG=

AD、GH=

BC、EH=

AD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形．

（3）如图：

判断四边EFGH是正方形，
理由：连接AD、BC，
∵（2）中已证△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠APC=90°，
∴∠PAD+∠1=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠PCB+∠2=90°，
∴∠3=90°，
∵（2）中已证GH、EH分别是△BCD、△ACD的中位线，
∴GH∥BC，EH∥AD，
∴∠EHG=90°，
∵（2）中已证四边EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．
点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键，题型较好，难度适中．