Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
（1）点A的坐标是

 

，点C的坐标是

 

；
（2）当t=

 

秒或

 

秒时，MN=

1

2

AC；
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据B点的坐标即可求出A、C的坐标．
（2）当MN=

1

2

AC时，有两种情况，①MN是△OAC的中位线，此时OM=

1

2

OA=2，因此t=2；
②当MN是△ABC的中位线时，OM=

3

2

OA=6，因此t=6；
（3）本题要分类进行讨论：
①当直线m在AC下方或与AC重合时，即当0＜t≤4时，可根据△OMN∽△OAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t的函数关系式．
②当直线m在AC上方时，即当4＜t＜8时，可用矩形OABC的面积-三角形BMN的面积-三角形OCN的面积-三角形OAM的面积来求得．（也可过O作直线m的垂线设垂足为F，那么在直角三角形OMF中，可根据OD的长和∠ODE的正弦值求出OF的长，求MN的方法一样）．
（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值．

解答：解：（1）（4，0），（0，3）；

（2）当MN=

1

2

AC时，有两种情况，
①MN是△OAC的中位线，此时OM=

1

2

OA=2，因此t=2；
②当MN是△ABC的中位线时，
∴AM=

1

2

AB=

3

2

，OA=4，
∴AD=

AM

tan∠EDO

=

3 2

3 4

=2
∴OD=OA+AD=4+2=6，因此t=6；

（3）当0＜t≤4时，OM=t
∵由△OMN∽△OAC，得

OM

OA

=

ON

OC

，
∴ON=

3

4

t，S=

3

8

t²
当4＜t＜8时，
如图，∵OD=t，
∴AD=t-4
方法一：
由△DAM∽△AOC，可得AM=

3

4

（t-4）
∴BM=6-

3

4

t
由△BMN∽△BAC，可得BN=

4

3

BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积
=12-

3

2

（t-4）-

1

2

（8-t）（6-

3

4

t）-

3

2

(t-4)=-

3

8

t²+3t
方法二：
易知四边形ADNC是平行四边形，
∴CN=AD=t-4，BN=8-t．
由△BMN∽△BAC，可得BM=

3

4

BN=6-

3

4

t，
∴AM=

3

4

（t-4）
以下同方法一．

（4）有最大值．
方法一：
当0＜t≤4时，
∵抛物线S=

3

8

t²的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大
∴当t=4时，S可取到最大值

3

8

×4²=6；（11分）
当4＜t＜8时，
∵抛物线S=-

3

8

t²+3t的开口向下，它的顶点是（4，6），
∴S≤6．
综上，当t=4时，S有最大值6．
方法二：
∵S=

3 8 t2，0＜t≤4 - 3 8 t2+3t，4＜t＜8

∴当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图象
如图所示．
显然，当t=4时，S有最大值6．

点评：本题考查了矩形的性质，二次函数的应用、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．