题目内容

城市内环高架能改善整个城市的交通状况．在一般情况下，高架上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当高架上的车流密度达到188辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过28辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当28≤x≤188时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当28≤x≤188时，求车流速度v关于车流密度x的函数解析式；
（2）若车流速度v不低于50千米/小时，求车流密度x为多大时，车流量y（单位时间内通过高架桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．

解：（1）当28≤x≤188时，设v=kx+b，
∵x=188时，v=0，x=28时，v=80
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
∴当28≤x≤188时，v=- $\text{[math]}$ x+94；

（2）当0≤x≤28时，车流量y=80x，
∵y随x的增大而增大，
∴当x=28时，y_最大=80×28=2240，
当28≤x≤188时，车流量y=x（- $\text{[math]}$ x+94）=- $\text{[math]}$ x²+94x=- $\text{[math]}$ （x-94）²+4418，
由- $\text{[math]}$ x+94≥50，解得x≤88，
∴28≤x≤88，
∵当28≤x≤88时，y随x的增大而增大，
∴当x=88时，y_最大=- $\text{[math]}$ （88-94）²+4418=-18+4418=4400，
综上，∵4400＞2240，
∴当x=88时，车流量最大，最大值为4400辆/小时．
分析：（1）设v=kx+b，然后把x=188时，v=0，x=28时，v=80代入，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）分0≤x≤28时，根据一次函数的增减性求出y达到的最大值，28≤x≤188时，根据车流量=车流密度×车流速度列式整理得到y与x的函数关系式，再根据车流速度求出x的取值范围，然后利用二次函数的增减性与最值问题解答．
点评：本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，主要涉及利用二次函数的增减性求最大值的问题，根据车流量=车流密度×车流速度求出y、x的函数关系式是解题的关键．