Question

如图，在直角梯形ABCD中，，，AB=AD，∠BAD的平分线交BC于E，连接DE．

（1）说明点D在△ABE的外接圆上；（6分）

（2）若∠AED=∠CED，试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系，并说明理由．（6分）

 

Answer 1

（1）证法一：∵∠B=90°，                                              ∴AE是△ABE外接圆的直径．

取AE的中点O，则O为圆心，连接OB、OD．

∵AB=AD，∠BAO=∠DAO，AO=AO，

∴△AOB≌△AOD．       

∴OD=OB．

∴点D在△ABE的外接圆上．

证法二：∵∠B=90°，∴AE是△ABE外接圆的直径．

∵AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，

∴△ABE≌△ADE．        

∴∠ADE=∠B=90°．        

取AE的中点O， 则O为圆心，连接OD，则OD=AE． 

∴点D在△ABE的外接圆上．      

（2）证法一：直线CD与△ABE的外接圆相切．

理由：∵AB∥CD， ∠B=90°．   ∴∠C=90°．

∴∠CED+∠CDE=90°．          

又∵OE=OD， ∴∠ODE=∠OED．  

又∠AED=∠CED， ∴∠ODE=∠DEC．

∴∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°．

∴CD与△ABE的外接圆相切．          

证法二： 直线CD与△ABE的外接圆相切．

理由：∵AB∥CD， ∠B=90°．   ∴∠C=90°．

又∵OE=OD， ∴∠ODE=∠OED．          

又∠AED=∠CED，∴∠ODE=∠DEC．     

∴OD∥BC．

∴．            

∴CD与△ABE的外接圆相切．