Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（，0），B（0，），且、满足.

（1）求直线AB的解析式；

（2）若点M为直线在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求的值.

（3）如图3过点A的直线交轴负半轴于点P，N点的横坐标为-1，过N点的直线交AP于点M，给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值。.

 

Answer 1

解：（1）由题意求得

       A(2,0)  B(0,4)   …………………………………………   1分

利用待定系数法求得函数解析式为：  ………………  3分

 

 （2）分三种情况（求一种情况得1分；两种情况得2分；三种情况得4分）

BM⊥BA  且BM=BA时   当AM⊥BA  且AM=BA时  当AM⊥BM  且AM=BM时

△     BMN≌△ABO(AAS)       △BOA≌△ANM(AAS)

得M的坐标为（4,6 ）         得M的坐标为（6, 4 ）           构建正方形

m=                           m=                       m=1

 

（3）结论2是正确的且定值为2 

  设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，

     由与x轴交于H点可得H(1,0)    

     由与交于M点可求M(3，K)

而A(2,0) 所以A为HG的中点

所以△AMG≌△ADH(ASA)            

又因为N点的横坐标为－1，且在上

所以可得N 的纵坐标为－K，同理P的纵坐标为－2K

所以ND平行于x轴且N、D的很坐标分别为－1、1

所以N与D关于y轴对称

所以可证△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC

所以PN=PD=AD=AM

所以= 2