Question

如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根，设过D, E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为

（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；
（2）求的最小值；
（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）

Answer 1

（1）略
（2）
（3）线段AQ的长与m，n，k的取值有关解析:
解：解法一：
（1）据题意，∵a+h=.
∴所求正方形与矩形的面积之比：
  1分
由知同号,
   2分
（说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分）
3分
即正方形与矩形的面积之比不小于4.
（2）∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.

⊙

∴⊙O的面积为：．  4分

矩形PDEF的面积：．

⊙

∴面积之比：设

⊙

……………………………………………………………6分

,   

⊙

，即时（EF=DE）, 的最小值为  7分

⊙

（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．

过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e，

∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN ="FP" =e.
由BC∥MQ,得：BM ="AG" =h.
∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,
∴△FBP∽△ABQ.     8分 （说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）
∴,……9分
∴.∴……10分
……11分
∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.    （解题过程叙述基本清楚即可）
解法二：
（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，
　∴ah＞０…………1分（说明:此处未得出只扣1分,再不影响下面评分）
∵（a-h）２≥０，当a＝h时等号成立.
　　　　   故，（a-h）２＝（a＋h）２－４a h≥０．   2分
　　　　∴（a＋h）２≥４a h，
　　　　∴≥４．（﹡）    3分
　　　　　　这就证得≥４．（叙述基本明晰即可）
（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为 .
S⊙O=…………4分, S矩形PDEF=xy

⊙

=  

= 6分
由（1）（*），            .
.

⊙

∴的最小值是  7分

⊙

（3）当的值最小时，

这时矩形PDEF的四边相等为正方形. ∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.

∵△AGB∽△FEB，∴.……8分
∵△AQB∽△FPB, ，……9分
∴=．
而 EF=PF，∴AG="AQ=h," ……………10分
∴AG=h＝,
或者AG=h＝ 11分
∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关. （解题过程叙述基本清楚即可）