Question

如图，已知四边形ABDE，ACFG都是△ABC外侧的正方形，连DF，若M，H分别为DF，BC的中点；求证：MH⊥BC且MH=

1

2

BC．

Answer 1

分析：首先分别过点D、A、F作直线BC的垂线，垂足分别为P、T、Q，得直角梯形DPQF，由正方形的性质得△DPB≌△BTA，证得DP=BT，PB=AT，同理证得AT=CQ，TC=FQ，所以PB=CQ
再由 H为BC的中点得BH=HC，所以PB+BH=CQ+CH，即：PH=QH，再由所得直角梯形DPQF中，M为DF的中点，H为PQ的中点，得MH∥DP，从而得出MH⊥BC，且MH=

1

2

BC．

解答：证明：分别过点D、A、F作直线BC的垂线，垂足分别为P、T、Q 
∵四边形ABDE为正方形
∴AB=BD，∠ABD=90°
∴∠1=∠3     
而∠DPB=∠BTA=90°
∴△DPB≌△BTA  （AAS）
∴DP=BT，PB=AT    
同理AT=CQ，TC=FQ，
∴PB=CQ
又∵H为BC的中点，
∴BH=HC
∴PB+BH=CQ+CH，即：PH=QH
在直角梯形DPQF中，M为DF的中点，H为PQ的中点
∴MH∥DP     
MH=

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2

（DP+FQ）=

1

2

（BT+TC）=

1

2

BC
又∵DP⊥BC，MH⊥BC
即：MH⊥BC，且MH=

1

2

BC．

点评：此题考查的知识点是正方形的性质，关键是由正方形的性质运用全等三角形的判定与性质及梯形的中位线定理证明．