Question

【题目】如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），与y轴的交点为D，对称轴与抛物线交于点C，与x轴负半轴交于点H．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点E，F分别是抛物线对称轴CH上的两个动点（点E在点F上方），且EF=1，求使四边形BDEF的周长最小时的点E，F坐标及最小值；

（3）如图2，点P为对称轴左侧，x轴上方的抛物线上的点，PQ⊥AC于点Q，是否存在这样的点P使△PCQ与△ACH相似？若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）故四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（﹣1， ），点F坐标为（﹣1， ），四边形BDEF周长的最小值是+1+；（3）点P的坐标为（﹣， ）

【解析】试题分析：（1）将点A（-3，0）、B（1，0）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组即可；

（2）先求得C（-1，4）．将D点向下平移1个单位，得到点M，连结AM交对称轴于F，作DE∥FM交对称轴于E点，则四边形BDEF周长的最小值=BD+EF+AM，然后求得直线AM的解析式，从而可求得点F的坐标，最后依据EF=1可得到点E的坐标；

（3）当△PCQ∽△ACH时，∠PCQ=∠ACH．过点A作CA的垂线交PC与点F，作FN⊥x轴与点N．则AF∥PQ，先证明△CPQ∽△CFA、△FNA∽△AHC，依据相似三角形的性质可求得AN=2，FN=1，则F（-5，1），然后再求得直线CF的解析式，将CF的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组可求得点P的坐标．

试题解析：

（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），

∴，解得 ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3

（2）解：∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴顶点C（﹣1，4）．

将D点向下平移1个单位，得到点M，连结AM交对称轴于F，作DE∥FM交对称轴于E点，如图1所示．

∵EF∥DM，DE∥FM，

∴四边形EFMD是平行四边形，

∴DE=FM，EF=DM=1，

DE+FB=FM+FA=AM．

由勾股定理，得AM= = = ，

BD== = ，

四边形BDEF周长的最小值=BD+DE+EF+FB=BD+EF+（DE+FB）=BD+EF+AM= +1+ ；

设AM的解析式为y=mx+n，将A（﹣3，0），M（0，2）代入，解得m=，n=2，则AM的解析式为y= x+2，

当x=﹣1时，y=，即F（﹣1， ），

由EF=1，得E（﹣1， ）．

故四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（﹣1， ），点F坐标为（﹣1， ），四边形BDEF周长的最小值是 +1+ ；

（3）解：点P在对称轴左侧，当△PCQ∽△ACH时，∠PCQ=∠ACH．

过点A作CA的垂线交PC与点F，作FN⊥x轴与点N．则AF∥PQ，

∴△CPQ∽△CFA，

∴= =2．

∵∠CAF=90°，

∴∠NAF+∠CAH=90°，∠NFA+∠NAF=90°，

∴∠BFA=∠CAH．

又∵∠FNA=∠AHC=90°，

∴△FNA∽△AHC，

∴== =，即 = =．

∴AN=2，FN=1．

∴F（﹣5，1）．

设直线CF的解析式为y=kx+b，将点C和点F的坐标代入得： ，解得：k= ，b= ．

∴直线CF的解析式为y= x+ ．

将y= x+ 与y=﹣x2﹣2x+3联立得： ,

解得： 或 （舍去）．

∴P（﹣， ）．

∴满足条件的点P的坐标为（﹣， ）．

点睛: 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、轴对称的性质，找出四边形BDEF周长取得最小值的条件是解题的关键．