Question

【题目】如图,在直角坐标平面内,函数(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a>1.过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB.

(1)若△ABD的面积为4，求点B的坐标；

(2)求证：DC∥AB；

(3)当AD=BC时，求直线AB的函数解析式.

Answer 1

【答案】（1）(3, )；（2）见解析；（3）y=2x+6或y=x+5.

【解析】

（1）由函数（x>0，m是常数）的图象经过A（1，4），可求m=4，由已知条件可得B点的坐标为（a，），又由△ABD的面积为4，即a（4-）=4，得a=3，所以点B的坐标为（3，）；

（2）依题意可证， ，，所以DC∥AB；

（3）由于DC∥AB，当AD=BC时，有两种情况：①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，点B的坐标是（2，2），设直线AB的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-2x+6．

②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，可求点B的坐标是（4，1），设直线AB的函数解析式y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-x+5．

(1)∵函数 (x>0,m是常数)图象经过A(1,4)，

∴m=4.

∴y= ，

设BD,AC交于点E,据题意,可得B点的坐标为(a, ),D点的坐标为(0, ),E点的坐标为(1, )，

∵a>1，

∴DB=a,AE=4.

由△ABD的面积为4,即a(4)=4，得a=3，

∴点B的坐标为(3, )；

(2)证明：据题意,点C的坐标为(1,0)，DE=1，

∵a>1，

易得EC=，BE=a1，

∴.

∴且∠AEB=∠CED，

∴△AEB∽△CED，

∴∠ABE=∠CDE，

∴DC∥AB；

(3)∵DC∥AB，

∴当AD=BC时，有两种情况：

①当AD∥BC时,四边形ADCB是平行四边形,由(2)得，

=a1，

∴a1=1，得a=2.

∴点B的坐标是(2,2).

设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，

得 ，

解得.

故直线AB的函数解析式是y=2x+6.

②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，

∴a=4，

∴点B的坐标是(4,1).

设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，

得 ，

解得 ，

故直线AB的函数解析式是y=x+5.

综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=2x+6或y=x+5.