Question

【题目】如图（1），在矩形DEFG中，DE=3，EG=6，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=6，△ABC的一边BC和矩形的一边DG在同一直线上，点C和点D重合，Rt△ABC将从D以每秒1个单位的速度向DG方向匀速平移，当点C与点G重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）如图（2），当AC过点E时，求t的值；

（2）如图（3），当AB与DE重合时，AC与EF、EG分别交于点M、N，求CN的长；

（3）在整个运动过程中，设Rt△ABC与△EFG重叠部分面积为y，请求出y与t的函数关系式，并写出相应t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】分析：（1）当AC过点E时，△ABC∽△EDC，然后根据相似三角形的对应边成比例列比例方程可求出CD的值；

（2）由勾股定理求得DG=3，由sin∠EGD=可求得∠EGD=30°，进而可求∠CNG=30°，根据等角对等边可知NC=CG，从而结论可求；

（3）由（1）可知，当x＞时，△ABC与△EFG有重叠部分．分①当＜t≤3时，y=S△EMN，②当3＜t≤3时，y=S△EMN﹣S△EPQ，两种情况求解.

详解：（1）如图（2），当AC过点E时，

在Rt△ABC中，BC=3，AC=6，

∴BC所对锐角∠A=30°，

∴∠ACB=60°，

依题意可知∠ABC=∠EDC=90°，

∵∠ACB=∠ECD，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

∴CD=，

∴t=CD= ；

（2）如图（3），∵∠EDG=90°，DE=3，EG=6，

∴DG===3，

在Rt△EDG中，sin∠EGD===，

∴∠EGD=30°，

∵∠NCB=∠CNG+∠EGD，

∴∠CNG=∠NCB﹣∠EGD=60°﹣30°=30°，

∴∠CNG=∠EGD，

∴NC=CG=DG﹣BC=3﹣3；

（3）由（1）可知，当x＞时，△ABC与△EFG有重叠部分．

分两种情况：

①当＜t≤3时，如图（4），△ABC与△EFG有重叠部分为△EMN，设AC与EF、EG分别交于点M、N，过点N作直线NP⊥EF于P，交DG于Q，

则∠EPN=∠CQN=90°，

∵NC=CG，

∴NC=DG﹣DC=3﹣t，

在Rt△NQC中，NQ=sin∠NCQ×NC=sin60°×（3﹣t）=，

∴PN=PQ﹣NQ=3﹣=，

∵∠PMN=∠NCQ=60°，

∴sin∠PMN=，MN==×=t﹣，

在矩形DEFG中，EF∥DG，

∴∠MEN=∠CGN，

∵∠MNE=∠CNG，∠CNG=∠CGN，

∴∠EMN=∠MNE，

∴EM=MN，

∴EM=MN=t﹣，

∴y=S△EMN=EMPN=××=﹣；

②当3＜t≤3时，如图（5），△ABC与△EFG重叠部分为四边形PQNM，设AB与EF、EG分别交于点P、Q，AC与EF、EG分别交于点M、N，则∠EPQ=90°，

∵CG=3﹣t，

∴S△EMN=﹣t+，

∵EP=DB=t﹣3，∠PEQ=30°，

∴在Rt△EPQ中，PQ=tan∠PEQ×EP=tan30°×（t﹣3）=，

∴S△EPQ=EPPQ=（t﹣3）×=，

∴y=S△EMN﹣S△EPQ=（﹣t+）﹣（）=+（﹣）t﹣，

综上所述，y与t的函数关系式：y=．