Question

在直角坐标系xOy中：
（1）画出一次函数y=

3

2

x+

3

2

的图象，记作直线a，a与x轴的交点为C；
（2）画出△ABC，使BC在x轴上，点A在直线a上（点A在第一象限），且BC=2，∠ABC=120°；
（3）写出点A、B、C的坐标；
（4）将△ABC绕点B在直角坐标平面内旋转，使点A落在x轴上，求此时过点A、B、C的抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）分别令x=0，y=0找出直线与两坐标轴的交点即可画出一次函数y=

3

2

x+

3

2

的图象．
（2）在x轴上找点C，使BC=2，根据∠ABC=120°可知，C在B的右侧，且B点坐标为（1，0），在直线y=

3

2

x+

3

2

的图象上取点A，使∠ABC=120°即可．
（3）过A作AD⊥x轴，根据锐角三角函数的定义即可求出P点的坐标．
（4）根据旋转的性质当A落到x轴上时，设此点为A′则AA′=AC，此时AC旋转的角度为∠ACD=60°，同理，B也旋转了60°，BC=B′C，过B′作B′E⊥x轴，根据锐角三角函数值的定义可知B′此时正好落在y轴上，根据两点间的距离公式可求出B′、A′的坐标，再用待定系数法即可求出过点A、B、C的抛物线的解析式．

解答：解：（1）令x=0，则y=

3

2

，令y=0，则x=-1，则函数图象与两坐标轴的交点分别为（0，

3

2

），（-1，0）

（2）因为C在x轴上，且∠ABC=120°，
所以B点坐标为（1，0），在直线y=

3

2

x+

3

2

的图象上取点A，使∠ABC=120°即可．

（3）设A（x，y），则y=

3

2

x+

3

2

，过A作AD⊥x轴，
则CD=x-1，∠ACD=180°-∠ABC=180°-120°=60°，
所以AD=CD•tan60°=

3

（x-1），
即

3

（x-1）=

3

2

x+

3

2

，
解得x=3，y=

3

2

×3+

3

2

=2

3

．
由（2）（3）可知A、B、C三点的坐标分别为：A（3，2

3

），B（-1，0），C（-1，0）．

（4）设三角形旋转以后的图形为△A′B′C，
根据旋转的性质可知A′C=AC，B′C=BC，
此时AC旋转的角度为∠ACD=60°，
同理，B也旋转了60°，即∠ACA′=∠BCB′=60°，A′C=AC=

(1-3)2+(2 3 )2

=4，
故A点坐标为（5，0），同理可得B′C=BC=

(-1-1)2

=2，
过B′作B′E⊥x轴，根据锐角三角函数的定义可知
EC=1，
故E与原点重合．
此时B′点坐标为（0，

3

）
设此时过点A、B、C的抛物线的解析式为：
y=ax²+bx+c，
把A′，B′，C三点坐标分别代入得，

25a+5b+c=0 c= 3 a+b+c=0

，
解得：

a= 3 5 b=- 6 5 c= 3

，
故此函数的解析式为y=

3

5

x²-

6

5

3

x+

3

．

点评：此题比较复杂，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，旋转的性质，二次函数图象上点的坐标特征及锐角三角函数值的定义．