若两条抛物线的顶点相同.则称它们为“友好抛物线 .抛物线C1:y1=-2x2+4x+2与C2:y2=-x2+mx+n为“友好抛物线．(1)求抛物线C2的解析式．(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点.过A作AQ⊥x轴.Q为垂足.求AQ+OQ的最大值．(3)设抛物线C2的顶点为C.点B的坐标为.问在C2的对称轴上是否存在点M.使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′.且点B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C₁：y₁=-2x²+4x+2与C₂：y₂=-x²+mx+n为“友好抛物线”．
（1）求抛物线C₂的解析式．
（2）点A是抛物线C₂上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．
（3）设抛物线C₂的顶点为C，点B的坐标为（-1，4），问在C₂的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C₂上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

分析（1）先求得y₁顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值；
（2）设A（a，-a²+2a+3）．则OQ=x，AQ=-a²+2a+3，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值；
（3）连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．接下来证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性质得到BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为（1，a）．则用含a的式子可表示出点B′的坐标，将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标．

解答解：（1）∵y₁=-2x²+4x+2=-2（x-1）²+4，
∴抛物线C₁的顶点坐标为（1，4）．
∵抛物线C₁与C₂顶点相同，
∴$\frac{-m}{-1×2}$=1，-1+m+n=4．
解得：m=2，n=3．
∴抛物线C₂的解析式为y₂=-x²+2x+3．
（2）如图1所示：

设点A的坐标为（a，-a²+2a+3）．
∵AQ=-a²+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=-a²+2a+3+a=-a²+3a+3=-（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{4}$．
∴当a=$\frac{3}{2}$时，AQ+OQ有最大值，最大值为$\frac{21}{4}$．
（3）如图2所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．

∵B（-1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，
∴BC⊥CM，BC=2．
∵∠BMB′=90°，
∴∠BMC+∠B′MD=90°．
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90°．
∴∠MB′D=∠BMC．
在△BCM和△MDB′中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MB′D=∠BMC}\\{∠BCM=∠MDB′}\\{BM=MB′}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△MDB′．
∴BC=MD，CM=B′D．
设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4-a，MD=CB=2．
∴点B′的坐标为（a-3，a-2）．
∴-（a-3）²+2（a-3）+3=a-2．
整理得：a²-7a+10=0．
解得a=2，或a=5．
当a=2时，M的坐标为（1，2），
当a=5时，M的坐标为（1，5）．
综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C₂上．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含a的式子表示点B′的坐标是解题的关键．

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3．