Question

如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=，中线AN与中线BM垂直．则BM=________．

Answer 1

3
分析：设AN与BM相交于点G，则G点为△ABC的重心，设NG=x，根据重心的性质得到AG=2x，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到BN=3x．然后在△BNG与△ABG中，由勾股定理得到BG²=BN²-NG²=AB²-AG²，求出x的值，从而得到BM的长度．
解答：解：设AN与BM相交于点G，则G点为△ABC的重心．
设NG=x，则AG=2x，AN=3x，BN=3x．
在△BNG中，BG²=BN²-NG²，
在△ABG中，BG²=AB²-AG²，
所以，BN²-NG²=AB²-AG²，
即9x²-x²=6-4x²，
解得x=．
所以BG²=AB²-AG²=6-4x²=4，
所以BG=2，GM=1，BM=3．
故答案为3．
点评：本题主要考查了三角形重心的定义及性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，难度中等，根据BG相等列出方程9x²-x²=6-4x²，是解题的关键．