Question

如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动．
（1）当A在原点时，求点B的坐标；
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
（3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A在原点时，AC在y轴上，BC⊥y轴，即可求出点B的坐标；
（2）根据OA=OC得出△OAC是等腰直角三角形，再根据AC=2，得出OA=OC=

2

，再过点B作BD⊥y轴，得出∠BCD的度数，从而得出CD和OD的值，即可求出答案；
（3）先取AC的中点E，连接OE，BE，在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，得出OE的值，再在△ACB中得出BE的值；再分两种情况讨论；当点O，E，B不在一条直线上和O，E，B三点在一条直线上时，求出OB的值，得出最大值即可．

解答：解：（1）当点A在原点时，如图1，AC在y轴上，BC⊥y轴，
所以点B的坐标是（2，2）．       

（2）当OA=OC时，如图2，

△OAC是等腰直角三角形，AC=2，
所以∠OAC=∠OCA=45°，OA=OC=

2

，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=

22+22

=2

2

，∠CAB=45°，
∴∠OAB=∠CAB+∠OAC=45°+45°=90°，
∴OB=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

．

（3）如图3，
取AC的中点E，连接OE，BE．
在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，
所以OE=

1

2

AC=1，
在△ACB中，BC=2，CE=

1

2

AC=1，
所以BE=

5

；
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=1+

5

．
若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=1+

5

，
所以当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为1+

5

．

点评：此题考查了解等腰直角三角形；解题的关键是根据等腰直角三角形的性质和特点进行解答，特别是第（3）要分两种情况讨论，不要漏掉．