题目内容

如图，CD为直角△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC．设△ADE，△CDB，△ABC的周长分别是p₁，p₂，p．当 $数学公式$ 取最大值时，∠A=________．

30°
分析：易证Rt△ADE∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC，令BC=a，AB=c，即可求得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +1，根据二次函数的极值即可求得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时∠A的度数．
解答：∵CD⊥AB，DE⊥AC
Rt△ADE∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC．
令BC=a，AB=c，则DB= $\text{[math]}$ ，AD=c- $\text{[math]}$ ．
于是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +1．
由二次函数性质知，当 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取最大值时，
此时∠A=30°．
故答案为 30°．
点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的证明，本题中求一元二次方程的最大值时x的取值是解题的关键．