Question

如图，CD为等腰直角△ABC斜边AB上的高，点E，F在直线BC上，∠EDF=45°，ED的延长线交CA的延长线于点G，连接FG．
（1）求证：

DE

EF

=

AG

DG

；
（2）若tan∠BFG=

3

4

，△DEF的面积为5，求FG的．

Answer 1

分析：（1）根据条件可以求出∠CAB=∠CBA=45°，∠GAD=∠FBD=135°就可以证明△DEB∽△FED和△ADG∽△BDF，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（2）在Rt△CGF中，tan∠CFG=

CG

CF

=

3

4

，设CG=3k，CF=4k，由勾股定理求出GF=5k，由条件及等腰直角三角形的性质可以求得∠CDG=∠FDG．作EH⊥FG于点H，由角平分线的性质就可以求出EC=EH．再根据三角函数值就可以用k表示出CE、EF．过点D作DM⊥CE于M，可以得出△DME∽△GCE，由其性质就可以得出DM=k，根据S_△EDF=5建立方程求出k的值就可以求出结论．

解答：解：（1）∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA．
∵∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°，且∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∵∠EDF=45°，
∴∠EDF=∠EDB．
∵∠DEB=∠FED，
∴△DEB∽△FED，
∴

DE

FE

=

DB

FD

．
∵∠GDF=180°-∠EDF=135°，
∴∠ADG+∠BDF=180°-135°=45°．
∵∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠GAD=∠FBD=135°，
∴∠ADG+∠AGD=180°-135°=45°．
∴∠BDF=∠ADG．
∵∠GAD=∠FBD=135°，
∴△AGD∽△BDF，
∴

AG

BD

=

DG

DF

，
∴

AG

DG

=

BD

DF

，
∴

DE

EF

=

AG

DG

．

（2）在Rt△CGF中，tan∠CFG=

CG

CF

=

3

4

，设CG=3k，CF=4k，由勾股定理，得
GF=5k．
∵△AGD∽△BDF，
∴

AG

BD

=

DG

DF

．
∵CD为等腰直角三角形ABC斜边上的高，
∴AD=BD=CD．
∴

AG

AD

=

DG

DF

，
∴

AG

DG

=

AD

DF

．
∵∠GAD=∠GDF=135°，
∴△AGD∽△DGF，
∴∠CDG=∠FDG．
∵∠GCE=90°，
∴EC⊥GC．
作EH⊥FG于点H，
∴EC=EH．（角平分线的性质）
在Rt△EHF中，tan∠EFH=

EH

FH

=

3

4

，
∴HF=

4

3

EH．
EF=

5

3

EH=

5

3

CE．
∵CE+EF=CF=4k，
∴CE=

3

2

k，EF=

5

2

k．
过点D作DM⊥CE于M．
∵CD为等腰直角△ABC斜边AB上的高，
∴∠DCB=45°，
∴∠CDM=45°，
∴∠DCB=∠CDM，
∴DM=CM．
∵∠GCB=∠DMB=90°，
∴DM∥CG．
∴△DME∽△GCE，
∴

DM

CG

=

ME

CE

，
∴

DM

3k

=

3 2 k-DM

3 2 k

，
∴DM=k．
∵S_△EDF=

1

2

EF．DM=

1

2

×

5

2

k•k=5，
解得：k=±2，
∵k=2不符合题意，舍去，
∴k=2，
∴GF=5k=10．

点评：本题是一道综合性极强的试题，考查了勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，平行线的判定及性质的运用，一元二次方程的解法的运用，三角函数值的运用，解答时合理利用相似三角形的性质是关键．