Question

如图1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动.

（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，请指出△OEF为等腰三角形时动点E，F的位置．若不能，请说明理由；
（2）当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围；
（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图2），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）点E，F移动的过程中，能成为的等腰三角形
此时点的位置分别是：
①E是BA的中点，F与A重合
②；
③E与A重合，F是AC的中点。
（2）在和中
，
∴
又∵
∴
∴
∵
∴。
（3）与相切
∵
∴
∴
即
又∵
∴
∴
∴点O到AB和EF的距离相等
∵AB与相切
∴点O到EF的距离等于的半径
∴EF与相切。