Question

【题目】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，过抛物线的顶点作轴的垂线，垂足为点，作直线.

（1）求直线的解析式；

（2）点为第一象限内直线上的一点，连接，取的中点，作射线交抛物线于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，在线段上有一点，连接，，线段交线段于点，若，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）直线的解析式为.（2）.（3）或

【解析】

（1）根据抛物线可得对称轴，可知点E的坐标，利用待定系数法可得一次函数BE的解析式；

（2）如图，作辅助线，构建直角三角形，根据抛物线过点，可得a的值，计算y＝0时，x的值可得C和D两点的坐标，从而知CD的值，根据P的横坐标可表示其纵坐标，根据，，列方程为，可得结论；

（3）如图，延长HF交x轴于T，先根据已知得∠FDO＝∠FTO，由等角的三角函数相等和（2）中的结论得：tan∠FDO＝tan∠FTO，则，可得ET和CT的长，令∠FDO＝∠FTO＝2α，表示角可得∠TCQ＝∠TQC，则TQ＝CT＝5，

设Q的坐标为，根据定理列方程可得：TS2＋QS2＝TQ2，，解得，；根据两个t的值分别求n的值即可．

解：（1）抛物线的对称轴为，

∴，

设直线的解析式为，

则，解得：，

∴直线的解析式为；

（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

∵抛物线经过，∴，∴，

∴，

当时，，解得，，

∴，，∴，，∴，.

∵点在抛物线上，∴点的纵坐标为，

∴，，

∴，

∵轴，∴，∴，∴，

∴.

∴，，在中，.

∴，

∴.

（3）如图，延长交轴于点，

∵，，∴，∴，

在中，，∴，∴.

∴，令，∴，

∴，，

∴.

∴.

∵点在直线上，∴可设的坐标为.

过点作轴于点，则，，

在中，，∴，

解得，.

①如图2，当时，，，

在中，，∴，∴.

∴.

②如图3，当时，，，

在中，，∴，∴，

∴.