Question

【题目】如图，和是的半径，，，是上任意一点，的延长线交于点，过点的的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

(1)根据切线的性质得到∠OQB+∠PQR=90°，根据垂直的定义得到∠BOA=90°，再根据对顶角相等及等角的余角相等，得到∠RPQ=∠RQP，根据“等角对等边”得证；
(2)根据“等边对等角”得到∠B=∠BQO，在三角形OBQ中，由∠BOA为直角，根据三角形的内角和定理可求得∠B的度数，进而求出∠QOR的度数，在直角三角形OQR中，根据30°的正切函数定义，可求出QR的值，进而得到PQ的长．

(1)连接，

∵是切线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，且，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

(2)∵，

∴，

又，

∴，

设，

又，

根据三角形内角和定理得：

，即，

解得：，即，

∴，

又，

∴为等边三角形，即，

在直角三角形中，，，

根据锐角三角函数定义得：

．