Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26 cm．动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．当t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形及等腰梯形？

Answer 1

答案：
解析：

分析　若四边形PQCD是平行四边形，则必有PD＝CQ．即AD－AP＝CQ．若四边形PQCD是等腰梯形，过点P作PM⊥BC．过点D作DN⊥BC．如答图，则有Rt△PQM≌Rt△DCN．PD＝MN，故QC－PD＝QC－MN＝2CN．利用上述关系便可求出相应时间． 　　解　(1)设运动时间为t(s)，则AP＝t，CQ＝3t． ∴PD＝24－t．若四边形PQCD是平行四边形．必有PD＝CQ．∴AD－AP＝CQ．∴24－t＝3t．∴t＝6．∴当t＝6 s时，四边形PQCD是平行四边形． 　　(2)过P作PM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N．若四边形PQCD是等腰梯形，则PQ＝CD，∠PQM＝∠DCN又PM⊥BC，DN⊥BC，∴Rt△PQM≌Rt△DCN．∴OM＝CN．又∵AD∥BC，PM⊥BC，DN⊥BC，∴四边形PMND是矩形．∴PD＝MN． 　　∴QC－PD＝QC－MN＝QM＋NC＝2CN．∵四边形ABCD是直角梯形，∴AD∥BC，AB⊥BC．又DN⊥BC，∴DN∥AB．∵∠B＝90°．∴四边形ABND是矩形．∴BN＝AD＝24．∴CN＝BC－AD＝26－24＝2．∵QC－PD＝2CN，∴3t－(24－t)＝2×2．∴t＝7．当t＝7 s时，四边形PQCD是等腰梯形． 　　点拨　本题化静为动，变成运动型几何题．这种题型往往与变量有关．因此实际上变成了几何与函数的综合题．