Question

已知：如图，AB、AC、ED分别切⊙O于点B、C、D，且AC⊥DE于E，BC的延长线交直线DE于点F．若BC=24，sin∠F=．
（1）求EF的长；
（2）试判断直线AB与CD是否平行？若平行，给出证明；若不平行，说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△CEF中，∠CEF=90°，
由sin∠F=，设CE=3x，CF=5x，
由勾股定理得EF=4x，
∵ED、EC分别切⊙O于点D、C，
∴ED=EC=3x，
由切割线定理得FD²=FC•FB，即（7x）²=5x•（5x+24），
∴x²-5x=0，
∴x₁=5，x₂=0（不合题意，舍去），
∴EF=4x=20；

（2）AB与CD不平行，
连接BD，
∵ED切⊙O于点D，
∴∠CBD=∠CDF，
又∵∠F=∠F，
∴△BDF∽△DCF，
∴，
∵CF=5x=25，DF=7x=35，
在等腰直角△CDE中，可求得DC=15，
∴BD=21，BC=24，
∴BD≠BC，
∴∠BDC≠∠BCD，
又∵AB切⊙O于点B，
∴∠ABC=∠BDC，
∴∠ABC≠∠BCD，
∴AB与CD不平行．
分析：（1）由sin∠F=，设CE=3x，CF=5x，利用勾股定理可求EF，进而可求ED，再利用切割线定理可解出x，从而求出EF；（2）AB与CD不平行，连接BD，利用弦切角定理可知∠CDF=∠DBF，再加上一组公共角，那么易证△BDF∽△DCF，利用（1）中求出的x，可求出CF、DF、DC、BD的长，从而可以得出BD≠BC，即∠
BDC≠∠BCD，再结合弦切角定理可知∠ABC=∠BDC，从而得出∠ABC≠∠BCD，那么AB不平行于CD．
点评：本题利用了三角函数值、勾股定理、切割线定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等知识．
（要证两直线不平行，即可证它们所夹的内错角不相等）．