Question

在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线的对称轴是直线x=2．

（1）求出该抛物线的解析式．
（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：
①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值．
②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）
（2）①的值不变。理由见解析
②存在。理由见解析

分析：（1）根据抛物线过原点和对称轴为直线x=2这两个条件确定抛物线的解析式。
（2）①如答图1所述，证明Rt△PAE∽Rt△PGF，则有，的值是定值，不变化。
②若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论，避免漏解。
解：（1）∵抛物线经过原点，∴n=0。
∵抛物线对称轴为直线x=2，∴，解得。
∴抛物线的解析式为：。
（2）①的值不变。理由如下：
如答图1所示，过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=AO=2．

∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF。．
在Rt△PAE与Rt△PGF中，
∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，
∴Rt△PAE∽Rt△PGF。
∴。．
②存在。
抛物线的解析式为：，
令y=0，即，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）。
又，∴顶点M坐标为（2，﹣1）。
若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形：
（ⅰ）FM=FD，如答图2所示，

过点M作MN⊥x轴于点N，则MN=1，ND=2，。
设FM=FD=x，则NF=ND﹣FD=2﹣x．
在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF²+MN²=MF²，
即：，解得：。
∴FD=，OF=OD﹣FD。
∴F（，0）。
（ⅱ）若FD=DM．如答图3所示，

此时FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=。
∴F（，0）。
（ⅲ）若FM=MD，
由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合，而由题意可知，点E与点A重合后即停止运动，故点F不可能运动到原点O。
∴此种情形不存在。
综上所述，存在点F（，0）或F（，0），使△DMF为等腰三角形。