Question

如图1，P是锐角△ABC所在平面上一点．如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P就叫做△ABC费马点．
（1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为______．
（2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC=60°，PA=2，PC=3，则PB的值为______．
（3）如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P．

Answer 1

（1）解：延长AP，交BC于D，
∵AB=AC=BC，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，
∴P为三角形的内心，
∴AD⊥BC，BD=CD=2，∠PBD=30°，
∴BP==，
∴AP=BP=，
∵AD==2，
∴PD=AD-AP=2-=，
故答案为：．

（2）解：（1）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，
∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴=，
∴PB²=PA•PC，即PB==，
故答案为：．

（3）证明：在BB′上取点P，使∠BPC=120°
连接AP，再在PB′上截取PE=PC，连接CE．
∵∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE为正三角形．
∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB’=120°
∵△ACB′为正三角形，
∴AC=B′C，∠ACB′=60°
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE，
∴∠APC=∠B′CE=120°，PA=EB′，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P为△ABC的费马点．
∴BB′过△ABC的费马点P．
分析：（1）延长AP，交BC于D，由等边三角形的性质可知AD⊥BC，BD=CD=2，∠BPC=30°，利用30°角的锐角三角函数值即可求出PD的长，即费马点P到BC边的距离；
（2）由题意可得△ABP∽△BCP，所以PB²=PA•PC，即PB=；
（3）在BB'上取点P，使∠BPC=120°，连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE．由此可以证明△PCE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°，而△ACB'为正三角形，由此也可以得到AC=B'C，∠ACB'=60°，现在根据已知的条件可以证明△ACP≌△B'CE，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论．
点评：此题考查了等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识；此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．