题目内容

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，过O点作EF∥AD分别交AB，CD于点E，F．
（1）下面是小明对“△AOB与△DOC是否相似”的解答：
解：△AOB∽△DOC理由如下：
∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴ $数学公式$ = $数学公式$
又∵∠AOB=∠DOC
∴△AOB∽△DOC
你认为小明的每一步解答过程是否正确？若正确，请在括号内填上理由；若不正确，请在该步骤后面的括号内打“×”．
（2）OE与OF有何关系？为什么？
（3）试求出 $数学公式$ + $数学公式$ 的值．

解：（1）（已知）；（相似三角形的对应边成比例）；（对顶角相等）；（×）

（2）OE=OF理由如下：
∵AD∥BC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又∵EF∥AD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴OF=OE．

（3）∵EF∥AD∥BC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1．
分析：（1）△AOB∽△DOC．理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴△AOD∽△COB．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （相似三角形的对应边成比例）．
又∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOB∽△DOC（×）不能得到△AOB∽△DOC，
是∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不是△AOB与△DOC的对应边的比．
（2）由于有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 分别成立，故OF=OE成立
（3）由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 成立，再式相加，即得出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1
点评：本题利用了平行线的性质：平行线分对应线段成比例，相似三角形的性质求解．