Question

如图（1），△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A．

（1）求∠A和∠B的度数；
（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线：
①写出图中与BD相等的线段，并说明理由；
②直线BC上是否存在其它的点P，使△BDP为等腰三角形，如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠BDP的度数；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算；
（2）①结合（1）中的角的度数，又可以发现两个等腰三角形，即△ABD和△BCD，
②根据BD是底和BD是腰的时候，进行画图．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行求解．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠B=2∠A
∴AB=AC，∠C=∠B=2∠A
又∵∠C+∠B+∠A=180°
∴5∠A=180°，∠A=36°
∴∠B=72°；

（2）①∵BD是△ABC中∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠CBD=36°
∴∠BDC=72°
∴BD=AD=BC；
②当BD是腰时，以B为圆心，以BD为半径画弧，交直线BC于点P₁（点C除外）
此时∠BDP=

1

2

∠DBC=18°．
以D为圆心，以BD为半径画弧，交直线BC于点P₃（点C除外）
此时∠BDP=108°．
当BD是底时，则作BD的垂直平分线和BC的交点即是点P₂的一个位置．
此时∠BDP=∠PBD=36°

点评：本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．找着角的关系利用内角和求角度是常用的方法，要熟练掌握．