Question

【题目】如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一点，过点作，与线段的延长线交于点，连结、．

求证：；

若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论；

若为的中点，求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形是矩形，证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由得到，，再根据AD＝CD证得，从而证明AF＝CE；（2）先判定四边形AFCE是平行四边形，再利用等边三角形的性质及（1）中结论证明AC＝EF，继而可证明四边形AFCE是矩形；（3）先判定为等边三角形，再判定四边形AFCE是菱形，继而可得出结论.

证明：∵，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴；

四边形是矩形．

证明：∵，，

∴四边形是平行四边形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

∴四边形是矩形；

证明：∵，，

∴，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∵四边形是平行四边形，

∴四边形是菱形，

∴．