题目内容

已知m，n为正整数，若 $数学公式$ ＜ $数学公式$ ＜ $数学公式$ ，当m最小时分数 $数学公式$ =________．

$\text{[math]}$
分析：首先由不等式可得出2007n-2006m＞0，2007m-2008n＞0；分别设2007n-2006m=x，2007m-2008n=y；（x、y是正整数）然后用x、y分别表示出m、n的值，根据m的值最小，判断出此时x、y、n的值，进一步得出所求分数的值．
解答：由题意，得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0， $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0，即 $\text{[math]}$ ＞0， $\text{[math]}$ ＞0，
∵m，n为正整数，
∴2007n-2006m＞0，2007m-2008n＞0；
设2007n-2006m=x，2007m-2008n=y；（x、y是正整数）
则有： $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ；
当m最小时，x=y=1；即m=4015，n=4013；此时m、n互质，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：此题融合了分式的基本性质、不等式、方程组等知识，是道难度较大的题．